Meissner-effekten

London-modellen for Meissner-effekten

Brødrene Fritz og Heinz London arbeidde med å forstå Meissner-effekten på 1930-talet. Dei innsåg at i ein superleiar må dei vanlege elektrodynamiske likningane modifiserast, samstundes som Maxwells likningar framleis må vere gyldige. Dette betyr mellom anna at Ohms lov

(1)

ikkje lenger gjeld. Dei brukte ein såkalla to-væske modell, dvs at dei frie ladningane i superleiaren med total tettleik n blir delte inn i "normale" ladningar med tettleik n_n med same eigenskapane som i normal fase, og superleiande elektron med tettleik n_s. Dei postulerte at desse "superelektrona" ikkje blir utsette for spreiingsprosessar via gittersvingingar (fonon) og defektar, og at dei dermed ikkje gjev bidrag til resistansen i materialet. Dermed vil dei bli fritt akselererte av eit eventuelt elektrisk felt. Dersom dei har fart , får vi likninga for fri akselerasjon (utan friksjon):

(2)

Superleiande straumtettleik blir dermed

(3)

Tar vi den tidsderiverte av denne likninga, og kombinerer denne med (1) får vi

(4)

Vi tar så av (4), og kombinerer med . Da får vi

(5)

Her har vi ført inn størrelsen h som eit mål for ved at . F. og H. London innsåg at om vi skulle halde fast ved Ohms lov, og samtidig ha uendeleg god leiingsevne (det siste viser eksperiment at vi har!), så medfører (5) at , noko som er si strid med den observerte Meissner-effekten. London integrerte i staden likning (5) og tok den partikulære løysinga

(6)

Dette er Londons elektrodynamiske likning for superleiar. Spørsmålet er nå om denne likninga vil gje oss det observerte fenomenet at magnetisk fluks blir kasta ut av superleiaren. Vi skal vise dette ved å bruke Maxwells likning

(7)

Vi tar på begge sider her, og kombinerer med likning (6), og får:

(8)

Denne likninga kan vi skrive om til følgjande:

(9)

der parameteren har dimensjon lengde, og er gitt av = m/ n_se².

Vi skriv ut og droppar leddet med divergensen til h då denne alltid er null.

Vi står att med

(10)

Denne kan nå brukast til å rekne ut feltfordelinga i superleiaren, slik at vi kan få svar på om Meissner-effekten er til stades.

La oss prøve: Anta at vi ser på feltfordelinga i eit snitt gjennom ein prøve som strekker seg frå x = 0. Vi spør om feltet i det heile tenger inn i materialet i superleiande tilstand, og ventar at svaret skal vere i samsvar med observasjon. Likning (10) blir nå:

(11)

Vi antar at feltet utanfor superleiaren er h₀. Vi får nå at

Tilsvarande gjeld

(12)

Figur 1. Skisse av feltinntrenginga .

Dersom er liten på skala av prøven sin storleik, vil det vere eit uttrykk for at feltet er kasta ut av volumet av prøven. Vi må estimere frå formelen ovanfor. Spørsmålet er altså om prøven er essensielt feltfri slik Meissner-effekten viste. Vi tenker oss då at prøven er av centimeter-storleik: d = 1 cm. Vi reknar ut typisk verdi for dersom n_s = n og n_n = 0, dvs at alle elektron tilhøyrer den superleiande komponenten av to-væskemodellen. n varierer innafor temmeleg vide grenser innan metall og høgtemperatur superleiar. I mange typiske metall vil vi finne at er av storleikorden 10 nm, men i høg-T_c, der konsentrasjonen n er låg, vil vere av storleik 100 nm. Altså: Feltet trenger inn 10-100 nm når vi er ved så låg temperatur at alle elektron er blitt til Cooper-par, eller "superelektron". Reknar vi med at vår prøve har eit volum på 1 cm³ og at feltet trenger 100 nm inn i dei 4 vertikale sideflatene av ein kubus, så blir fraksjonen av volumet som feltet trenger inn i ca 4x10^-5. For mest alle praktiske føremål må vi då kunne seie at prøven er feltfri, altså at vi har Meissner-effekten. Ja, det er akkurat dette som er Meissner-effekten: Ein ørliten del av volumet av prøven må brukast til å sette opp skjermingsstraumar som held feltet ute frå resten av volumet.

Men her kjem eit viktig tilleggspoeng: To-væskemodellen seier at når vi går frå ein temperatur langt under T_c (T_c er temperaturen der superleiing først opptrer ved avkjøling) mot T_c, så minkar n_s gradvis, og går til null ved T_c. Og n_s er null ved alle temperaturar over T_c. (Denne tankegangen er og i samsvar med den moderne BCS-teorien. Men denne ligg på eit anna nivå av kvantefysisk tenking som vi ikkje skal ta for oss her.) Det som er viktig å konstatere, er at når n_s går mot null, går mot uendeleg. Det betyr altså at når vi lar temperaturen gå mot T_c, trenger feltet til slutt inn att i materialet, og blir verande der om vi varmar over T_c, altså i normalfasen. I denne fasen går feltet omtrent heilt uforstyrra gjennom prøven fordi materialet nå er det vi kallar svakt paramagnetisk.

Tenker vi gjennom resultatet den andre vegen, altså ved avkjøling, har vi funne at feltet er inne i heile prøven over T_c, men blir pressa ut av prøven under T_c fordi minkar ved avkjøling. Igjen er dette i samsvar med observasjon for Meissner-effekten. Vi ser dermed at London-teorien beskriv forholda på ein overbevisande måte.

Magnetisering i Meissner-fasen

I eksperimentet der superleiaren svevar over magneten ved lågt felt, er årsaka å finne i dei forholda som er diskutert under London-modellen. Anomasjonane viste at det oppstod ein superstraum ved T_c og at denne vart pressa ut til overflata av prøven ved vidare nedkjøling slik at denne vart som ein magnetspole, med eit felt som akkurat kompenserer for det ytre pålagde feltet, og dermed at vi fekk null felt totalt inne i prøven. Dette betyr altså at superstraumen magnetiserer prøven i motsett retning av retningen på det ytre feltet, og dermed at B = 0 inne i prøven. Likninga

må gjelde. Og skal vi ha B = 0 inne i volumet av prøven, må vi altså ha at

Her er H feltet frå magneten. Det er altså denne magnetiseringa som blir skapt ved at det heilt spontant oppstår superstraumar på overflata, som om vi hadde vikla ein spole tett inntil overflata og sendt ein straum gjennom denne. At denne overflatestraumen er ei side ved Meissner-effekten, kan vi overtyde oss om ved igjen å bruke ei Maxwell-likning for samanhengen mellom h og :

For ein sylindrisk prøve er det enkel matematikk å vise at relasjonen ovanfor blir til

når vi tar i eit vilkårleg punkt på overflata, med x-aksen normal til denne. Her er einingsvektor langs y-aksen. Dvs at : er ein straum langs overflata, gitt av den deriverte av h. I det tilfellet vi beskriv matematisk ovanfor får vi at

Vi ser at denne straumen døyr ut over same avstand som h og B innover i prøven. Igjen er dette ei side ved Meissner-effekten. Ved å integrere opp det feltet denne straumen skapar, ville vi og kunne overbevise oss om at resultatet er i samsvar med at

Det vi har kalla overflatestraum tidlegare, er altså straumen som vi utleia her, og som går i eit sjikt inn til ei djupn .